4. Mathematics Model
รูปที่ 6 แสดงภาพรวมของระบบ
จากรูปที่แสดงภาพรวมระบบข้างต้นเป็นการสร้างอ้างอิงระบบ Rotary Invert Pendulum เพื่อมาสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ โดยจะศึกษาจลน์ศาสตร์ ( Kinetic) ของระบบดังรูปดังกล่าวซึ่งจะประกอบ ด้วย Rotary arm หรือ Link1 และ Pendulum rod หรือ Link2 และ DC Motor การศึกษาการเคลื่อนที่ของระบบจะใช้ทฤษฎีของ Euler-Lagrange equation of motion ที่มีอยู่ว่า
q(t)คือ เวกเตอร์แสดงตำแหน่งของมุมในการเคลื่อนที่ของระบบ
q(t)คือ เวกเตอร์แสดงความเร็วในการเคลื่อนที่ของระบบ
Qiคือ เวกเตอร์แสดงแรงภายนอกที่กระทำกับระบบ
L คือ Lagrangian
W คือ พลังงานนที่สูญเสียในระบบ
ซึ่งตัวLagrangianที่หาได้จาก
เมื่อ
Ttotalคือ พลังงานจลน์รวมของระบบ
Vtotal คือ พลังงานศักย์รวมของระบบ
พลังงานจลน์รวมของระบบ = พลังงานจลน์รวมของ Link1 + พลังงานจลน์รวมของ Link2 เขียนได้เป็นว่า
ซึ่ง พลังงานจลน์รวมของ Link1 คือ
ขณะที่จุดหมุนของระบบอยู่ที่กึ่งกลางของ Link1 ดังนั้น L1=0 ทำให้
ส่วน พลังงานจลน์รวมของ Link2 หาได้จาก
และนอกจากนี้จำเป็นต้องหาพลังงานศักย์ของระบบด้วยโดยที่พลังงานศักย์ ของ Link1 เป็นศูนย์เพราะจุดอ้างอิงของระบบอยู่ที่ Link1 ทำให้ได้พลังงานศักย์รวมของระบบ คือ
ทำให้ค่าของ Lagrangian คือ
และแทนค่าพลังงานต่างๆ จากที่หามาทำให้ได้ว่า
ส่วนพลังงานที่สูญเสียของระบบหาได้จาก
จากกฎของ Euler-Lagrange equation of motion ทำให้สามารถเขียนสมการของระบบใหม่ได้เป็น
เมื่อแทนค่าต่างๆลงไปทำให้ได้ระบบสมการเป็น
หาค่าของTorqeของมอเตอร์ จาก
และนำ Parameter จากโมเดลของระบบมาแทนค่าใหม่จะได้ตารางคือ
ตารางที่ 1 Defintion of parameter in the model
เพื่อทำให้ระบบสมการดูง่ายขึ้นจึงแทนค่า Parameter ใหม่ทำให้ได้เป็น
แต่ระบบสมการยังไม่เป็นแบบเชิงเส้นจึงต้องมีการทำ Linearizationเพื่อประมาณค่าของระบบใหม่โดยที่ให้
ทำให้ได้ระบบที่เป็นเชิงเส้นคือ
นำระบบสมการมาเขียนเป็น สมการ ODE โดยใช้ Solving System of ODE Elimination ดังตาราง
ตารางที่ 2 Defintion of parameter in H-1 matrix
ทำให้ได้สมการ ODE เพื่อบอกว่าระบบตอบสนองเป็นยังไงดังนี้
เมื่อนำค่าคงที่ต่างๆ ในระบบจริงดังแสดงในตารางข้างล่าง
ตารางที่ 3 ตารางค่าคงที่ในระบบ
แทนลงไปในสมการจะทำให้ได้ State Space
หลังจากได้ State Space ของระบบแล้วก็นำสมการไปพล็อตกราฟโดยใช้โปรแกรม MATHLAB ที่ป้อนอินพุตให้กับระบบแบบ Step Input ทำให้ได้กราฟดังแสดงข้างล่าง
รูปที่ 7 แสดงผลการตอบสนองของระบบเมื่อป้อน Step Input
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น